1、21世紀(jì)數(shù)學(xué)七大難題最近美國(guó)麻州的克雷（Clay）數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對(duì)七個(gè)“千僖年數(shù)學(xué)難題”的每一個(gè)懸賞一百萬美元。
2、以下是這七個(gè)難題的簡(jiǎn)單介紹。
【資料圖】
3、“千僖難題”之一：P（多項(xiàng)式算法）問題對(duì)NP（非多項(xiàng)式算法）問題在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì)。
4、由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人。
5、你的主人向你提議說，你一定認(rèn)識(shí)那位正在甜點(diǎn)盤附近角落的女士羅絲。
6、不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。
7、然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認(rèn)識(shí)的人。
8、生成問題的一個(gè)解通常比驗(yàn)證一個(gè)給定的解時(shí)間花費(fèi)要多得多。
9、這是這種一般現(xiàn)象的一個(gè)例子。
10、與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)13，717，421可以寫成兩個(gè)較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個(gè)袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對(duì)的。
11、不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內(nèi)部知識(shí)來驗(yàn)證，還是沒有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時(shí)間來求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問題之一。
12、它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陳述的。
13、“千僖難題”之二：霍奇(Hodge)猜想二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法。
14、基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營(yíng)造塊粘合在一起來形成。
15、這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導(dǎo)至一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的形形色色的對(duì)象進(jìn)行分類時(shí)取得巨大的進(jìn)展。
16、不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來。
17、在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。
18、霍奇猜想斷言，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
19、“千僖難題”之三：龐加萊(Poincare)猜想如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)。
20、另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。
21、我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。
22、大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問題。
23、這個(gè)問題立即變得無比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。
24、“千僖難題”之四：黎曼(Riemann)假設(shè)有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2,3,5,7,等等。
25、這樣的數(shù)稱為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。
26、在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。
27、著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。
28、這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過。
29、證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來光明。
30、“千僖難題”之五：楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的。
31、大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系。
32、基于楊－米爾斯方程的預(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。
33、盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒有已知的解。
34、特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于“夸克”的不可見性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來沒有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí)。
35、在這一問題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。
36、“千僖難題”之六：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。
37、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對(duì)它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。
38、雖然這些方程是19世紀(jì)寫下的，我們對(duì)它們的理解仍然極少。
39、挑戰(zhàn)在于對(duì)數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。
40、“千僖難題”之七：貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想數(shù)學(xué)家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷。
41、歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但是對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。
42、事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個(gè)整數(shù)解。
43、當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。
44、特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無限多個(gè)有理點(diǎn)(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。
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